在花了5个半小时走了300公里的火车上颠簸了一下午（这个速度和中国数学赶超世界一流
水平有的一拼）。感觉无聊，想了想数学，偶有所得，不吐不快（本人认为比证明费马定
理，庞加莱猜测要比对数学研究的意义大点）。本人的重大发现是做数学研究其实和在bb
s上灌水是一码事。

proof:
lemma1 挖坑
数学史上挖坑的顶级高手是费马，歌德巴赫，阿洛尔德之流，一方面福被万代，另一方面
也为自己赢得声誉。bbs上的挖坑高手也是大受欢迎，挖好了可以上10大，赢得一片喝彩。

lemma2 关税
有个好坑，大家自然乐于灌水。所不同的是前者是在学术期刊上，而后者是在小白合上。
这不是本质区别 。前者可以混职称，后者可以混经验值。从数学的观点看，也就是个同
态，或者同胚还是 什么的关系。总之区别不重要。99。9999999999999%的数学工作者属于
类。所以我觉得大家无需去计较灌的是矿泉水还是纯净水，也不要去比较国内数学系的
好，都是水货。

lemma3 填坑和做合集
这是数学研究和bbs上灌水最大的不同。但那只是骗骗外行，对我们学数学这类善于抽象
的人而言，本质是一回事。维尔斯（就是那个证明费马定理的笨蛋）该拉去枪毙，那么好
的坑，为了一己私利，去把它填上，砸烂了多少饭碗！那些因做数论失业的人都应该排队
去他家吃饭。同样gallaxy,kolmogorov等人勤于做合集不是也是断 了人家的财路？！老是
做合集，我们的经验值怎么长？？建议斑竹归隐或者自杀。

看了 hubb"数学与bbs",启发良多。
特别是关于“挖坑”这件事，不禁想起几个著名的“万人坑”的故事。

先说个与数学没关系的。

曹雪芹先生才高八斗，却偏偏不把《石头记》写完，关键时候暂停，不写了！
不写也就算了，缺德的是又像个走江湖的算命先生，一开始就把那些个男男女女归宿做了
个大预言。
作个节目预告也可以理解，要命的是这些预言却都是云山雾罩的，偏偏不说透！
于是吸引了一批批填坑者“狗尾续貂”，而这些填坑者又带来了一批批挑剔的评论者。

不断的挖坑，不断的挑剔，竟然繁衍出了一个“红学”来！
这个“红学”是多少学者的饭碗啊！

现在才发现，此乃曹先生宅心仁厚，宁愿自己衣食不济，飘零无所，贫病而亡，也要让后
代的文人活得体面些，最不济也有一口饭吃，真是大有“吾庐独破受冻死亦足”之气概！


而且一百多年的历史也雄辩地证明了，曹先生乃一代挖坑高手，其挖坑想法之高明，挖坑
技术之精巧，拿捏之准，妙到毫颠，端的是前无古人，后无来者！比之时下娱乐界那些下
三滥的炒作，怎不让人感慨！

下面谈正题，说个数学的。

这是个千古之巨坑，不知多少英雄豪杰，凡夫俗子栽入其中，一辈子爬不上来。

这个坑乃是百年之前，也是世纪之交的一天（这一天每个学数学的人都能查得出来），一
个叫希尔伯特的德国佬密谋了八个月之久后挖出来的。他在这一天还带领全世界各大洲的
著名数学家们参观了一下。

此坑深不见底，从外貌看又大致可分为大小不均的二十三个子坑。
有的奇险绝伦，幽暗难测；有的看似平平，却蕴含杀机。
更厉害的是这些大坑之间盘根错节，交互连环，陷阱众多，一般人不敢轻易下足试探。


但这岂能吓住我们的数学勇士？一百年来在这些大坑上上演了多少可歌可泣，可悲可笑的
填坑壮剧，还有悲剧，还有些闹剧。

比如那个 Arnold 十九岁就以“初生牛犊不怕虎”的勇气力填第十三大坑。

更有以一人之力勇填数个大坑者。

当然更多的是“壮士一去不复还”或“泥牛入海无消息”。

下面谈一谈本人比较熟悉的第十六大坑。这个坑由两个小坑组成，其中第二小坑的填坑史
最具戏剧性。
六十年代莫斯科大学校长彼德诺夫斯基声称一举填平了此坑。
一九七九年，中国数学家史松龄和王明淑（南大教授，田刚的妈妈）分别独立地举出了反
例，指出这个坑其实没填掉。
彼德诺夫斯基脸上挂不住，要辞校长职，被劝住了。
前一段时间被炒得沸沸扬扬的挪威某二十三岁美眉填平第十六大坑的惊天新闻，更是让众
多填坑者瞠目结舌，徒唤奈何－－－－不过幸运或不幸的是这只不过是场闹剧，一个漂亮
美眉主演的一场“无知者无畏”的闹剧。

希尔伯特是数学史上最伟大的挖坑者。虽然前代也有像费尔马，歌德巴赫这些零星的义务
挖坑者，比之希尔伯特这个专业高手就差远了。希尔伯特的坑以量多质优著名。他胸怀宽
广，目光如炬，所挖之坑远近分布高低位置各不相同；加之又技术熟练，诡计多端，故二
十三坑形态各异，忽分忽和，争奇斗胜，煞是能吸引人眼球。

二十世纪的数学一大部分就是一部填坑史，对此魏尔在一篇悼念希尔伯特的文章中写得最
动人：
“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的小老鼠，跟着他
跳进了数学的深河。”

谨以此言与数学版的挖坑者共勉。

1900年在巴黎召开的国际数学家会议上，Hilbert发表题为“数学问题”的著名演?
揭开了20世纪数学发展的序幕。其主要部分讲了23个数学问题。它们是?

1，连续统假设；
2，算术公理无矛盾性；
3，两等底等高四面体组成的相等
4，直线最短连接；
5，连续群的解析性；
6，物理学的公理化；
7，某些数的超越性；
8，素数中的猜想；
9，任意数域中最一般互反律的证明；
10，不定方程的可解性；
11，系数为代数数的二次型；
12，阿贝尔域上克朗涅克尔定理在任意代数有理域上的拓广；
13，不可能用仅有两个 变数的函数解一般的七次方程；
14，相对整函数系的有限性；
15，舒伯特计数演算的严格基础；
16，代数曲线和曲面拓扑；
17，正定形式的平方和表示；
18，由全等多面体构造空间；
19，正则变分问题 的解是否一定解析；
20，一般边值问题；
21，具有给定单值群的微分方程解的存在性；
22，自守函数单值化；
23，变分法的进一步发展。

http://www.sina.com.cn2000/01/28 10:58 中华读书报
　　
　　希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响：一条是通过自己遍及数论、代数、
几何、分析以及数学基础的工作，一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学
发展的方向。
　　自从《21世纪100个科学难题》出版之后，希尔伯特的名字也逐渐为更多的人知道，
由于数学，特别是现代数学，很难为一般人所理解，自然，数学在媒体上难得有什么地
位，而数学家的名字听起来也格外陌生了。无论国外国内，稍有科学素养的人都知道牛
顿和爱因斯坦。无疑，牛顿应该是有史以来最伟大的科学家，而爱因斯坦是20世纪最伟
大的物理学家。但是，谈起20世纪的数学，我想，至少应该记住三个人的名字：庞加莱
、希尔伯特和冯·诺伊曼，他们是20世纪最有影响的数学家。庞加莱是非线性数学（如
现代时髦的浑沌理论）的奠基人以及当代数学女王——拓扑学的创建者。冯·诺伊曼被
称为“计算机之父”和现代计算数学的奠基人，而数理经济学和对策论（一译博奕论）
也由他首先取得突破的。而对20世纪主流数学——结构数学有巨大影响的当属希尔伯特
。
　　希尔伯特通过两条途径对20世纪数学施加影响：一条是通过自己遍及数论、代数、
几何、分析以及数学基础的工作，一条是通过提出并研究数学前沿的问题指出未来数学
发展的方向。他之所以能做到这点，除了他的天才和格廷根的优美环境之外，就要归结
为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望，不断地去深入理解数学的任何一个部
为他的献身精神——热爱数学、学习数学的热望，不断地去深入理解数学的任何一个部
门。总之，使数学成为生活中不可或缺的东西。笔者在格廷根的档案馆中发现他的记录
和笔记中，有一部分是他取得博士学位以后，访问国内国外知名数学家的记录；另有三
大本笔记，详细记录他提出的各种问题以及对各种问题的思考；而他在1900年8月8日关
于《数学问题》的报告显然不是急就章，而是长年思考积累的结果。
　　希尔伯特的报告不是大会报告，而是数学史组的分组报告，从这个意义上来讲，那
时人们的确重视科学发展的历史，而也正是这种重视历史的心态，才使这些最伟大的数
学家成就其历史的伟业。从另外一个意义上来讲，希尔伯特的23个问题是一个继往开来
的文献，说它继往，是它总结了19世纪几乎所有未解决的重要问题；说它开来，是这些
问题的确推动了 20世纪数学的进步。因此各数学大国，美国、前苏联、日本以及法国、
德国和英国的数学家或组织起来或单独研究希尔伯特问题的历史和现状，并进一步提出
新的问题。这里我们也极简单地概括一下，欲知其详，则有待于专著的问世。
　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是
数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。从顺
序上讲，显然希尔伯特把自己的重点放在数学基础上，他自己的工作也正为缔造数学大
厦牢固的基础而努力。从19世纪末希尔伯特已致力把数学建立在少数公理的基础上。他
还是集合论最早的少数支持者之一，把数学建立在集合论基础上成为他的梦想。这可以
解释他为什么把集合论头号问题——连续统假设列为自己的第1问题。希尔伯特通过自己
的工作包括他的基础问题对于20世纪数理逻辑的发展起了决定性的影响。但是希尔伯持
的纲领却由于哥德尔1930年的不完全性定理而不能实现，从此数理逻辑走向独特的发展
道路。从新的观点看，第1、第2以及第10问题属于数理逻辑的范围，第3、第4、第5、第
6属于较为具体的学科。从某种意义来讲，这些问题可以说都在不同程度上得到解决。
　　数论这一块是希尔伯特本人在1900年之前最为关注的领域，他本人的工作对这领域
　　数论这一块是希尔伯特本人在1900年之前最为关注的领域，他本人的工作对这领域
的发展也有决定性的影响。出乎他本人的预料，第7问题在他在世时已经解决，而第8问
题的黎曼猜想却至今还距离完全解决尚远，成为未来世纪数学家的头号难题。由第12问
题衍生出的朗兰兹（LangLands）纲领，更是远未解决，而其它4个问题可以说已经基本
解决。
　　20世纪的代数学已由方程论和不变式论发展为抽象代数学或近世代数学，这条发展
路线虽然同希尔伯特问题关系不大，但的确是在希尔伯特本人工作的影响之下发展起来
的。13、14和17这三个代数问题可以说基本解决，它们也给 20世纪数学带来新的方向。
几何的三个问题中，第15问题对于代数几何学的严格化有重要影响，而代数几何学在20
世纪是一门对各方面都有巨大影响的主流学科，它的基础已经建立在交换代数学的基础
上。与此相反，16问题前半的实代数几何学进展不大，尽管希尔伯特的问题有很大进步
。16问题后半的极限环问题经过一个世纪的努力可以说进展甚微，具体讲每一个重要进
展在多年之后都发现不对。18问题共有三问，前两问已经圆满解决，而第三问则发展成
一个十分活跃的领域，特别是开普勒（就是发现行星运动的三定律的那位）猜想终于在
本世纪结束之前完全证明。
　　希尔伯特的5个分析问题，可以说都基本解决。希尔伯特从1900年起研究分析，特别
是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之，希尔伯特23个问
题有4个问题仍是下世纪的大问题（第8、第12、16B 、18C），而其他问题则应在基本解
决的基础上提出更多更新的问题。
　　回顾一个世纪数学的发展，我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的
问题，把20世纪数学带上一条健康发展的道路。当然，即使像希尔伯特这样的数学巨人
，也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作，E·嘉当关于李
代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是，他的工作和他的问题同
　　希尔伯特的5个分析问题，可以说都基本解决。希尔伯特从1900年起研究分析，特别
是狄式原理和积分方程直接推动偏微分方程和泛函分析的发展。总之，希尔伯特23个问
题有4个问题仍是下世纪的大问题（第8、第12、16B 、18C），而其他问题则应在基本解
决的基础上提出更多更新的问题。
　　回顾一个世纪数学的发展，我们的确可以看到希尔伯特通过他自己的工作和提出的
问题，把20世纪数学带上一条健康发展的道路。当然，即使像希尔伯特这样的数学巨人
，也自然会有他的局限性。他基本上没有涉及庞加莱的组合拓扑的工作，E·嘉当关于李
代数的工作以及黎曼几何与张量分析和群表示论的研究。但是，他的工作和他的问题同
20世纪特别是上半世纪一半以上的数学研究有联系。而到20世纪末，数学已发展成如此
庞大的领域，已经找不到一个人来提出全面数学问题的清单，他的工作需要几十人来代
替。这些领袖人物虽然不像希尔伯特那样广博，但决不是狭窄领域的专家，他们都多少
继承希尔伯特的基因，在学科交叉上看到数学未来的前沿。而这正预示着下一世纪数学
辉煌的前景，也是解决老问题，提出新问题的关键所在。

胡作玄